Question

【題目】設集合是集合…，的子集．記中所有元素的和為（規定：為空集時，=0）．若為3的整數倍，則稱為的“和諧子集”．

求：（1）集合的“和諧子集”的個數；

（2）集合的“和諧子集”的個數．

Answer 1

【答案】（1）的“和諧子集”的個數等于4．（2）

【解析】

（1）由集合的子集可得：集合A1的“和諧子集”為：：，{3}，共4個，

（2）由即時定義的理解，分類討論的數學思想方法可得：討論集合An+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}中的“和諧子集”的情況，以新增元素3n+1，3n+2，3n+3為標準展開討論即可得解

（1）集合的子集有：，，，，，，，．

其中所有元素和為3的整數倍的集合有：，，，．

所以的“和諧子集”的個數等于4．

（2）記的“和諧子集”的個數等于，即有個所有元素和為3的整數倍的子集；

另記有個所有元素和為3的整數倍余1的子集，有個所有元素和為3的整數

倍余2的子集．

由（1）知，．

集合的“和諧子集”

有以下四類（考查新增元素）：

第一類 集合…，的“和諧子集”，共個；

第二類 僅含一個元素的“和諧子集”，共個；

同時含兩個元素的“和諧子集”，共個；

同時含三個元素的“和諧子集”，共個；

第三類 僅含一個元素的“和諧子集”，共個；

同時含兩個元素的“和諧子集”，共個；

第四類 僅含一個元素的“和諧子集”，共個；

同時含有兩個元素的“和諧子集”，共個，

所以集合的“和諧子集”共有個．

同理得，．

所以，，

所以數列是以2為首項，公比為2 的等比數列．

所以．同理得．

又，所以．