Question

【題目】已知等差數列的前n項和為Sn，若為等差數列，且．

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在正整數， 使成等比數列？若存在，請求出這個等比數列；若不存在，請說明理由；

（3）若數列滿足，，且對任意的，都有，求正整數k的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3，9，27；（3）3

【解析】

（1）利用等差數列的通項和求和公式，再利用等差中項得，然后求得公差d=2，求出通項；

（2）假設存在，使得，，成等比數列，利用等比數列中項可得

法一：利用函數的單調性轉化為零點問題求解；法二：直接解方程求解；得出n=1；

（3）根據題意由 可知，，然后用累加法和放縮法得

，再對n進行討論，求得k的值.

（1）設等差數列的公差d，則，．

又是等差數列，所以，

即，解得d＝2．

此時，，符合數列是等差數列，

所以．

（2）假設存在，使得，，成等比數列．

則，

由（1）可知，，代入上式，得

，

整理得．（*）

法一： 令，x≥1．

則，

所以在上單調增，

所以在上至少有一個根．

又，

故是方程（*）的唯一解．

所以存在，使得，，成等比數列，

且該等比數列為3，9，27．

法二：，即，

所以方程（*）可整理為．

因為，所以無解，故．

所以存在，使得，，成等比數列，

且該等比數列為3，9，27．

（3）由 可知，．

又，，故，所以．

依題意，對任意恒成立，

所以，即，故．

若，據，可得

當，時，

．

由及可得．

所以，當，時，，即．

故當，時，，故不合題意．

若，據，可得，即．

所以，當，時，，

當時，，得，所以．

當，時，

，

所以，

故．

故當時，對任意都成立．

所以正整數k的最小值為3．