Question

已知數列{a_n}滿足a₁＝0，a₂＝2，且對任意m、n∈N^*都有
a_2m－1＋a_2n－1＝2a_m＋n－1＋2(m－n)²
（Ⅰ）求a₃，a₅；
（Ⅱ）設b_n＝a_2n＋1－a_2n－1(n∈N^*)，證明：{b_n}是等差數列；
（Ⅲ）設c_n＝(a_n+1－a_n)q^n－1(q≠0，n∈N^*)，求數列{c_n}的前n項和S_n.

Answer 1

6，20，
，S_n＝

解：(1)由題意，零m＝2,n－1,可得a₃＝2a₂－a₁＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a₅＝2a₃－a₁＋8＝20………………………………2分
(2)當n∈N^*時，由已知(以n＋2代替m)可得
a_2n＋3＋a_2n－1＝2a_2n＋1＋8
于是[a_2(n＋1)＋1－a_2(n＋1)－1]－(a_2n＋1－a_2n－1)＝8
即 b_n＋1－b_n＝8
所以{b_n}是公差為8的等差數列………………………………………………5分
(3)由(1)(2)解答可知{b_n}是首項為b₁＝a₃－a₁＝6,公差為8的等差數列
則b_n＝8n－2，即a_2n+=1－a_2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得
a_n＝-(n－1)².
那么a_n＋1－a_n＝－2n＋1
＝－2n＋1
＝2n
于是c_n＝2nq^n－1.
當q＝1時，S_n＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
當q≠1時，S_n＝2·q⁰＋4·q¹＋6·q²＋……＋2n·q^n－1.
兩邊同乘以q，可得
qS_n＝2·q¹＋4·q²＋6·q³＋……＋2n·qⁿ.
上述兩式相減得
(1－q)S_n＝2(1＋q＋q²＋……＋q^n－1)－2nqⁿ
＝2·－2nqⁿ
＝2·
所以S_n＝2·
綜上所述，S_n＝…………………………12分