Question

（本小題滿分17分）已知點，和互不相同的點，滿足，其中、分別為等差數列和等比數列，為坐標原點，是線段的中點．
(1)    求，的值；
(2)    點能否在同一條直線上？證明你的結論；
(3)    證明：對于給定的公差不為零的數列，都能找到惟一的數列，使得都在一個指數函數的圖象上．

Answer 1

(1)
(2)見解析
(3)見解析

(1)是線段的中點.  (2分)
又,且不共線,由平面向量基本定理,知  (4分)
(2)由.由的公差為,的公比為,則由于互不相同,所以不會同時成立.  (5分)
若時,則,都在直線上; (6分)
若時,則,都在直線上; (7分)
若,點在同一條直線上與共線  (9分)
)()()()-()
=與矛盾,所以當時, 不在同一條直線上.  (11分)
(3)由    (12分)
設,則, 點都在一指數函數的圖象上且
,   (15分)
所以,對于給定的,都能找到惟一的一個數列,,使得都在指數函數的圖象上.  (17分)