Question

（文）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=且S_n=S_n-1+a_n-1+，數列{b_n}滿足b₁=-且3b_n-b_n-1=n（n≥2且n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{b_n-a_n}為等比數列；
（3）求{b_n}前n項和的最小值．

Answer 1

解：（1）由S_n=S_n-1+a_n-1+，得S_n-S_n-1=a_n-1+，2a_n=2a _n-1+1，a_n-a _n-1+…2分
∴a_n=a₁+（n-1）d=n-
（2）證明：∵3b_n-b_n-1=n，∴b_n=b_n-1+n，
∴b_n-a_n=b_n-1+n-n+=b_n-1-n+=（b_n-1-n+）；
b_n-1-a_n-1=b_n-1-（n-1）+=b_n-1-n+；
∴由上面兩式得，又b₁-a₁=--=-30
∴數列{b_n-a_n}是以-30為首項，為公比的等比數列．
（3）由（2）得b_n-a_n=-30×，
∴=，
b_n-b_n-1=
=
=＞0，∴{b_n}是遞增數列
當n=1時，b₁=-＜0；當n=2時，b₂=＜0；
當n=3時，b₃=＜0；當n=4時，b₄=＞0，
所以，從第4項起的各項均大于0，故前3項之和最小．
且S₃=．
分析：（1）利用S_n-S_n-1=a_n，直接求出{a_n}的通項公式；
（2）直接求出數列b_n-a_n表達式，利用等比數列的定義證明數列{b_n-a_n}為等比數列；
（3）利用（2）求出數列的前幾項，即可判斷數列的符號，然后求{b_n}前n項和的最小值．
點評：本題是中檔題，考查數列的遞推關系式的應用，考查邏輯推理能力，計算能力，轉化思想的應用．