Question

數列{a_n}各項均為正數，s_n為其前n項的和，對于n∈N^*，總有a_n，s_n，a_n²成等差數列．
（1）數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{}的前n項的和為T_n，數列{T_n}的前n項的和為R_n，求證：當n≥2時，R_n-1=n（T_n-1）
（3）設A_n為數列{}的前n項積，是否存在實數a，使得不等式A_n＜a對一切n∈N⁺都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：第1問主要利用等差中項得出S_n與a_n的關系式，在利用可求出a_n．第2問就是要用數學歸納法證明，先驗證：n=2時等式成立，再假設 n=k時等式成立，推n=k+1時成立，其中有要利用好假設條件和R_k=R_k-1+T_k就可證出．第3問寫出A_n的表達式后，構造這個關于正整數n的函數，因為A_n是一個n項的乘積，所以采用作商的方法判斷出g（n）的單調性，從而使不等式得到證明．
解答：解：（1）由已知有2S_n=a_n+a_n²．
當n=1時，2a₁=a₁+a₁²⇒a₁=1，
當n≥2時，2S_n-1=a_n-1+a_n-1²，∴2S_n=a_n+a_n²，
兩式相減有：2a_n=a_n-a_n-1+a_n²-a_n-1²，
即a_n-a_n-1=1．
所以a_n=n．
（2）由（1）得，R_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n．
當n=2時，R_n-1=R₁=T₁=1，n（T₂-1）=1，
故當n=2時命題成立．
假設n=k時成立，即R_k-1=k（T_k-1），則當n=k+1時，=，
說明當n=k+1時命題也成立．
（3）據已知…，則：…，=＜1
故g（n）單調遞減，于是
要使不等式對一切n∈N⁺都成立只需即可．
點評：本題的第1問比較簡單，主要考查了這個知識點．第2問主要考查了數學歸納法證明，關鍵在于 n=k+1時的推導過程要利用好假設條件和題的條件，運算的技巧性較強．第3問是本題的難點所在，因為常規判斷單調性的方法是作差，作商比較少用，但是由本題的特點所決定，這一點需要一定的思維量．