Question

數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，s_n為其前n項的和，對于n∈N^*，總有a_n，s_n，a_n²成等差數(shù)列．
（1）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項的和為T_n，數(shù)列{T_n}的前n項的和為R_n，求證：當(dāng)n≥2時，R_n-1=n（T_n-1）
（3）設(shè)A_n為數(shù)列{

2an-1

2an

}的前n項積，是否存在實數(shù)a，使得不等式A_n

2an+1

＜a對一切n∈N⁺都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：第1問主要利用等差中項得出S_n與a_n的關(guān)系式，在利用an =

S1            n=1 Sn-Sn-1    n≥2

可求出a_n．第2問就是要用數(shù)學(xué)歸納法證明，先驗證：n=2時等式成立，再假設(shè) n=k時等式成立，推n=k+1時成立，其中有要利用好假設(shè)條件和R_k=R_k-1+T_k就可證出．第3問寫出A_n的表達(dá)式后，構(gòu)造g(n)=An

2an+1

這個關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，因為A_n是一個n項的乘積，所以采用作商的方法判斷出g（n）的單調(diào)性，從而使不等式得到證明．

解答：解：（1）由已知有2S_n=a_n+a_n²．
當(dāng)n=1時，2a₁=a₁+a₁²?a₁=1，
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=a_n-1+a_n-1²，∴2S_n=a_n+a_n²，
兩式相減有：2a_n=a_n-a_n-1+a_n²-a_n-1²，
即a_n-a_n-1=1．
所以a_n=n．
（2）由（1）得Tn=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

，R_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n．
當(dāng)n=2時，R_n-1=R₁=T₁=1，n（T₂-1）=1，
故當(dāng)n=2時命題成立．
假設(shè)n=k時成立，即R_k-1=k（T_k-1），則當(dāng)n=k+1時，Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk-

k

k+1

)=(k+1)(Tk+

1

k+1

-1)=(k+1)(Tk+1-1)，
說明當(dāng)n=k+1時命題也成立．
（3）據(jù)已知An=(1-

1

2a1

)(1-

1

2a2

)…(1-

1

2an

)，則：g(n)=An

2n+1

=

2n+1

(1-

1

2a1

)(1-

1

2a2

)…(1-

1

2an

)，

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

2an+1

)

2n+3

2n+1

=

(2n+1) 2n+3

(2n+2) 2n+1

＜1
故g（n）單調(diào)遞減，于是[g(n)]max=g(l)=

3

2

要使不等式An

2an+1

＜a對一切n∈N⁺都成立只需a＞

3

2

即可．

點評：本題的第1問比較簡單，主要考查了an =

S1            n=1 Sn-Sn-1    n≥2

這個知識點．第2問主要考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在于 n=k+1時的推導(dǎo)過程要利用好假設(shè)條件和題的條件，運(yùn)算的技巧性較強(qiáng)．第3問是本題的難點所在，因為常規(guī)判斷單調(diào)性的方法是作差，作商比較少用，但是由本題的特點所決定，這一點需要一定的思維量．