Question

數列{a_n}各項均為正數，其前n項和為S_n，且滿足2anSn-

a

2 n

=1，．
（Ⅰ）求證數列{

S

2 n

}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

2

4 S 4 n -1

，求數列{b_n}的前n項和T_n，并求使Tn＞

1

6

(m2-3m)對所有的n∈N^*都成立的最大正整數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2anSn-

a

2 n

=1，知當n≥2時，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，故

S

2 n

-

S

2 n-1

=1（n≥2），由此能夠證明數列{

S

2 n

}為等差數列．并能求出求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由bn=

2

4 S 4 n -1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，知Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

2n

22n+1

，故Tn≥

2

3

，由此能求出最大正整數m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵2anSn-

a

2 n

=1
當n≥2時，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，

S

2 n

-

S

2 n-1

=1（n≥2），（2分）
又

S

2 1

=1，（3分）
∴數列{

S

2 n

}為首項和公差都是1的等差數列．（4分）
∴

S

2 n

=n，又S_n＞0，∴Sn=

n

（5分）
∴n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n

-

n-1

，
又a₁=S₁=1適合此式              （6分）
∴數列{a_n}的通項公式為an=

n

-

n-1

（7分）
（Ⅱ）∵bn=

2

4 S 4 n -1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

（8分）
∴Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

（10分）
∴Tn≥

2

3

，依題意有

2

3

＞

1

6

(m2-3m)，解得-1＜m＜4，
故所求最大正整數m的值為3   （12分）

點評：本題考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．