Question

設橢圓C：的一個頂點與拋物線：的焦點重合，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據拋物線方程得它的焦點坐標為（0，），即為橢圓的上頂點，得到b=，結合橢圓的離心率為，可解出a、c的值，即可得到橢圓C的方程；
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l方程：y=k（x-1），與橢圓消去y得關于x的方程，由根與系數關系得：x₁+x₂=，x₁x₂=，代入=x₁x₂+y₁y₂的式子并進行化簡，可得當k=時，，從而得到符合題意的直線l方程；
（III）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用（II）的方程并結合兩點距離公式進行化簡，可得|MN|=，再設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），同樣的方程可得|AB|=2，由此代入化簡，即可得到要求的值．
解答：解：（I）拋物線的焦點坐標為（0，），可得橢圓的上頂點為（0，），得b=
∵橢圓的離心率，得=，解得a=，c=1
∴橢圓C的方程是
（II）由（I）得橢圓C的右焦點為F₂（1，0）
①當直線l與x軸垂直時，直線l斜率不存在，此時M（1，），N（1，-）
∴=1×1+×（-）=-，不符合題意；
②當直線l與x軸不垂直時，設直線方程l：y=k（x-1），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0
x₁+x₂=，x₁•x₂=
∴=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]=（1+k²）x₁•x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-1
即（1+k²）•-k²•+k²=-1
解之得k=，故直線l的方程是y=（x-1）或y=-（x-1）．
（III）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（II）得|MN|==|x₁-x₂|
===
由消去y，整理得
∴|AB|==|x₃-x₄|=2
∴==6．
點評：本題給出橢圓的上頂點與拋物線的焦點重合，求橢圓方程并求滿足數量積的焦點弦所在直線方程，著重考查了橢圓、拋物線的簡單性質，直線與圓錐曲線關系和向量的數量積等知識，屬于中檔題．