Question

設橢圓C₁：的一個頂點與拋物線C₂：的焦點重合，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）拋物線C：的焦點為（0，）
∵橢圓C₁：的一個頂點與拋物線C₂：的焦點重合
∴橢圓的一個頂點為（0，），即b=
∵e===，∴a=，
∴橢圓的標準方程為；
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當直線斜率不存在時，M（1，），N（1，-），∴，不合題意．
②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
將直線方程代入橢圓方程可得：（2+3k²）x²-6k²x+4k²-6=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=+k²（-+1）==-1
∴k=±，
故直線l的方程為y=（x-1）或y=-（x-1）．
分析：（I）根據拋物線的焦點確定橢圓的頂點，結合離心率，即可求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩種情況討論：①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意；②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合向量條件，即可求得直線l的方程．
點評：本題重查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查向量知識的運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．