Question

（2012•德州一模）設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個頂點與拋物線C₂：x2=4

2

y的焦點重合，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，離心率e=

3

3

，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得

OM

•

ON

=-1，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據拋物線的焦點確定橢圓的頂點，結合離心率，即可求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩種情況討論：①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意；②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合向量條件，即可求得直線l的方程．

解答：解：（I）拋物線C：x2=4

2

y的焦點為（0，

2

）
∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個頂點與拋物線C₂：x2=4

2

y的焦點重合
∴橢圓的一個頂點為（0，

2

），即b=

2

∵e=

c

a

=

1- b2 a2

=

3

3

，∴a=

3

，
∴橢圓的標準方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當直線斜率不存在時，M（1，

2 3

3

），N（1，-

2 3

3

），∴

OM

•

ON

=1-

2

3

≠-1，不合題意．
②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
將直線方程代入橢圓方程可得：（2+3k²）x²-6k²x+4k²-6=0，
∴x₁+x₂=

6k2

2+3k2

，x₁•x₂=

3k2-6

2+3k2

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

3k2-6

2+3k2

+k²（

3k2-6

2+3k2

-

6k2

2+3k2

+1）=

-k2-6

2+3k2

=-1
∴k=±

2

，
故直線l的方程為y=

2

（x-1）或y=-

2

（x-1）．

點評：本題重查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查向量知識的運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．