Question

已知四棱錐的底面是平行四邊形，,，面，且.若為中點，為線段上的點，且.

（1）求證：平面；
（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值.

Answer 1

(1)證明過程詳見解析(2)

解析試題分析：
(1)本文利用面面垂直來證明線面垂直,即連接BD交AC于點O，取中點，連接、、.利用分別為的中位線,說明它們對應平行,進而得到面與面平行,再根據面面平行的性質得到線面平行.
(2)要求線面角,需要找到線面角的代表角,即過C點做面PAD的垂線,因為PA垂直于底面,所以過C作線段AD的垂線與AD交于H,則CH垂直于面PAD,所以角CPH即為線面角的代表角,要求該角的正弦值,就需要求出PC與CH,可以利用三角形PAC和三角形ACH為直角三角形通過勾股定理求的.進而得到線面角的正弦值.
試題解析：
（1）證明：連接BD交AC于點O，
取中點，連接、、.
因為、分別是、的中點，
所以，    3分
因為、分別是、的中點，
所以，     6分
所以，平面平面.
又因為平面，
故，平面.    9分

（2）因為，，所以.
過C作AD的垂線，垂足為H，則，，所以平面PAD.
故為PC與平面PAD所成的角.                12分
設，則，，，
所以，即為所求.                   15分
考點：面面平行 線面平行 線面夾角 勾股定理