Question

拋物線C：的焦點為F．
（1）已知拋物線C上點A的橫坐標為1，求在點A處拋物線C的切線方程；
（2）斜率為1的直線l過點F，與拋物線C相交于M、N兩點，求線段MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求點A的坐標，進而可求在點A處拋物線C的切線斜率，由此可得切線方程；
（2）求出過點F、斜率為1的直線l方程，與拋物線方程聯立，求得交點坐標，進而可求線段MN的長．
解答：解：（1）當x=1時，，即．（1分）
∵，（3分）     
∴所求切線的斜率k=y'|_x=1=．（5分）
∴所求切線方程為，
即2x-4y-1=0．（6分）
（2）拋物線C：x²=4y，焦點F（0，1）（7分）
∵斜率為1的直線l過點F，
∴直線l的方程為y=x+1． （8分）
聯立，
∴x²-4x-4=0
∴x=2±2
∴，或．（10分）
∴=8．
所以，線段MN的長為8． （12分）
點評：本題以拋物線方程為載體，考查切線方程，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是聯立方程，求得交點坐標．