Question

設拋物線C：的焦點為F，經過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．

(1)若，求線段中點M的軌跡方程；

(2)若直線AB的方向向量為，當焦點為時，求的面積；

(3)若M是拋物線C準線上的點，求證：直線的斜率成等差數列．

 

Answer 1

【答案】

 (1)  ；(2) 。

(3)顯然直線的斜率都存在，分別設為．

點的坐標為．

聯立方程組得到 ，

，得到．

【解析】

試題分析：

思路分析：(1) 利用“代入法”。

(2) 聯立方程組得，，應用弦長公式求 

，得到面積。

 (3)直線的斜率都存在，分別設為．

點的坐標為．

設直線AB：，代入拋物線得， 確定 ，

，得到．

解：(1) 設，，焦點，則由題意，即 

所求的軌跡方程為，即 

(2) ，，直線，

由得，， 

， 。

(3)顯然直線的斜率都存在，分別設為．

點的坐標為．

設直線AB：，代入拋物線得， 所以，

又，，

因而，

因而 

而，故．

考點：等差數列，求軌跡方程，直線與拋物線的位置關系。

點評：中檔題，涉及“弦中點”問題，往往利用“代入法”求軌跡方程。涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往通過聯立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程。