Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：DM∥平面PCB；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）求三棱錐P-MBD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PB的中點F，連接MF、CF，由中位線定理證得MF∥AB，且MF=AB，得四邊形CDFM是平行四邊形，從而得到DM∥CF，再由線面平行的判定定理得DM∥平面PCB；
（2）先證AD⊥平面PGB，易得AD⊥PB；
（3）利用等體積法，找出其高和底，從而由體積公式求三棱錐P-MBD的體積．
解答：解：（1）取PB的中點F，連接MF、CF，
∵M、F分別為PA、PB的中點．
∴MF∥AB，且MF=AB．
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．
∴四邊形CDFM是平行四邊形．
∴DM∥CF．
∵CF⊥平面PCB，
∴DM∥平面PCB．
（2）取AD的中點G，連接PG、GB、BD．
∵PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．
（Ⅲ）V_P-MBD=V_B-PMD
V_B-PMD=××××=
點評：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理，特別是三角形中位線及平面圖形的靈活運用．