Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面， ， ，且， ， .

（1）求證： ；

（2）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在， .

【解析】試題分析：（1）根據已知條件先證平面，再根據線面垂直的性質，可證線線垂直；

（2）根據（1）的結論建立空間直角坐標系，設點的坐標，進而可得平面，平面的法向量，以及B，根據線面角的定義可以求得BM與平面MAC所成的角的正弦值.

試題解析（1）證明：如圖，由已知得四邊形是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面，則，又，所以平面，

所以.

（2）存在，觀察圖形特點，點可能是線段的一個三等分點（靠近點），下面證明當是線段的三等分點時，二面角的大小為，過點作于，則，則平面.

過點作于，連接，

則是二面角的平面角，

因為是線段的一個三等分點（靠近點），則，

在四邊形中求得，則，

所以當是線段的一個靠近點的三等分點時，二面角的大小為，

在三棱錐中，可得，設點到平面的距離是，

，

則，解得，

在中，可得，

設與平面所成的角為，則，

所以與平面所成的角為.