Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，焦距2c=4，過點（2，3），
（1）求雙曲線的標準方程及其漸近線方程．
（2）直線l：y=kx+1與雙曲線有且僅有一個公共點，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由已知得：

2c=4 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得a，b，c即可．
（2）聯立

y=kx+1 3x2-y2=3

消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．分當3-k²=0時，與當3-k²≠0時，△=0．解得k即可．

解答：解：（1）由已知得：

2c=4 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得

c=2 a=1，b2=3

．
∴雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1，
雙曲線的漸近線：y=±

3

x．
（2）聯立

y=kx+1 3x2-y2=3

消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．
當3-k²=0時，即k=±

3

，x=-

2

k

，
此時直線l與雙曲線有且僅有一個公共點，滿足題意．        
當3-k²≠0時，△=4 k²-4（3-k²）（-4）=0．解得k=±2．
綜上所述k=±

3

或k=±2．

點評：熟練掌握雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線的相交問題掌握方程聯立利用△與的關系、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．