Question

如下圖,四面體ABCD中,O,E分別是BD,BC的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.

(1)求證:AO⊥平面BCD;

(2)求異面直線AB與CD所成角的大小;

(3)求點E到平面ACD的距離.

Answer 1

解法1：(1)證明:連結OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=,

而AC=2,

∴AO²+CO²=AC².

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.

(2)解:取AC的中點M,連結OM,ME,OE,

由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC.

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.

在△OME中,

EM=AB=,OE=DC=1,

∵OM是Rt△AOC斜邊AC上的中線,

∴OM=AC=1.

∴cosOEM=.

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos.

(3)解:設點E到平面ACD的距離為h.

∵V _E—ACD=V _A—CDE,

∴h·S_△ACD=·AO·S_△CDE.

在△ACD中,CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=××.

而AO=1,S_△CDE=××2²=,

∴h=.

∴點E到平面ACD的距離為.

解法2:(1)同解法1.

(2)解:如下圖,以O為原點,建立空間直角坐標系,

則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),E(, ,0),=(-1,0,1),=(-1,- ,0).

∴cos＜,＞=.

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos.

(3)解:設平面ACD的法向量為n=(x,y,z),

則

∴令y=1,得n=(-,1,,)是平面ACD的一個法向量.

又=(-,,0),

∴點E到平面ACD的距離h=