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設a>0,已知函數f(x)=ex(ax2+x+1).
(Ⅰ)討論f(x)的單調性;
(Ⅱ)設g(x)=x2-2bx+4.若對?x1∈[0,1],?x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2).求實數b的取值范圍.
(Ⅰ)∵f'(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1)=ex(x+2)(ax+1)(2分)
令f'(x)>0,得(x+2)(ax+1)>0,
當a∈(0,
1
2
)時,f(x)在(-∞,-
1
a
)
上遞增,在(-
1
a
,-2)
上遞減,在-2,+∞上遞增;
a=
1
2
時,f(x)在(-∞,+∞)
上遞增;
a∈(
1
2
,+∞)時,f(x)在(-∞,-2)
上遞增,在(-2,-
1
a
)
上遞減,在(-
1
a
,+∞)
上遞增.           (6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a>0時,f(x)在[0,1]總是單調增加,
故f(x)在[0,1]的最小值為f(0)=1.              (8分)
由于“對?x1∈[0,1],?x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)成立”等價于
“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在[0,1]上的最小值1”.      (9分)
又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],所以,
①當b<1時,因為[g(x)]min=g(1)=5-2b≤1,此時無解;
②當b∈[1,2]時,因為[g(x)]min=4-b2≤1,解得
3
≤b≤2

③當b∈(2,+∞)時,因為[g(x)]min=g(2)=8-4b≤1,解得b>2;
綜上,b的取值范圍是[
3
,+∞)
.                (12分)
練習冊系列答案
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設a>0,已知函數 f(x)=
alnxx
,討論f(x)的單調性.

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(Ⅱ)設g(x)=x2-2bx+4.若對?x1∈[0,1],?x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2).求實數b的取值范圍.

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設a>0,已知函數 f(x)=
alnx
x
,討論f(x)的單調性.

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(Ⅰ)討論f(x)的單調性;
(Ⅱ)設g(x)=x2-2bx+4.若對?x1∈[0,1],?x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2).求實數b的取值范圍.

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