Question

已知△ABC中的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，它的外接圓半徑為6，角B、C和△ABC的面積s滿足條件：s=b²-（c-a）²和sinA+sinC=

4

3

（1）求sinB的值
（2）求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，已知等式利用完全平方公式變形，聯立表示出s，再利用三角形面積公式表示出s，兩者相等列出關系式，變形即可求出sinB的值；
（2）由R的值及正弦定理化簡a+c，將sinA+sinC的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）∵s=b²-（c-a）²=b²-c²-a²+2ac，且cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴b²-c²-a²=-2accosB，
∴s=2ac（1-cosB），
又s=

1

2

acsinB，
∴

1

2

sinB=2-2cosB，
∴4cosB=4-sinB，
兩邊平方得16cos²B=16-8sinB+sin²B，即16-16sin²B=16-8sinB+sin²B，
∴sinB=

8

17

；
（2）由R=6及正弦定理得：a=2RsinA=12sinA，c=2RsinC=12sinC，
∵sinA+sinC=

4

3

，
∴a+c=12（sinA+sinC）=12×

4

3

=16．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．