Question

已知△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足：a²+c²-b²=ac，且

BA

•

BC

=4．
（Ⅰ）求角B的大小和△ABC的面積；   
（Ⅱ）若a+c=6，求b的值．

Answer 1

分析：（I）利用余弦定理，求出B，利用向量的數量積公式，求出ca，即可求△ABC的面積；   
（Ⅱ）利用a²+c²-b²=ac，a+c=6，即可求b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，…（3分）
∴0＜B＜π．…（4分）
∵

BA

•

BC

=4，∴|

BA

|•|

BC

|cosB=cacosB=4，∴ca=8…（6分）
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×8×sin60°=2

3

…（8分）
（Ⅱ）∵a²+c²-b²=ac，a+c=6，
∴b²=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=12，…（11分）
∴b=2

3

…（12分）

點評：本題考查余弦定理的運用，考查向量知識，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．