Question

已知△ABC中，內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，滿足A＜B＜C，且sinA：sinB：sinC=5：7：k．
（1）已知k=11，求△ABC的最大角的余弦值；
（2）若a=10，且△ABC為鈍角三角形，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由k的值及正弦定理求出三角形三邊之比，利用余弦定理列出關系式，將三邊長代入求出cosC的值，即為△ABC的最大角的余弦值；
（2）由a的值，根據比例求出b的值，由cosC小于0列出不等式，求出不等式的解集得到c的范圍即可．

解答：解：（1）由正弦定理化簡已知等式得：a：b：c=5：7：11，
則cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

25+49-121

70

=-

9

14

；
（2）∵a=10，∴b=

7

5

a=14，
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，
∴c＞2

74

，
∵c＜a+b=24，
則2

74

＜c＜24．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．