Question

16．函數f（x）=log₃（x²+2x-8）的定義域為A，函數g（x）=x²+（m+1）x+m．
（1）若m=-4時，g（x）≤0的解集為B，求A∩B；
（2）若存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式g（x）≤-1成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，B，由交集運算的定義，可得A∩B；
（2）若存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式g（x）≤-1成立，即存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式-m≥$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$成立，所以-m≥（$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$）_min，解得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）由x²+2x-8＞0，解得：x∈（-∞，-4）∪（2，+∞），
故則函數f（x）=log₃（x²+2x-8）的定義域A=（-∞，-4）∪（2，+∞），…（2分）
若m=-4，g（x）=x²-3x-4，由x²-3x-4≤0，解得：x∈[-1，4]，則B=[-1，4]…（4分）
所以A∩B=（2，4]；                                                       …（6分）
（2）存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式x²+（m+1）x+m≤-1成立，
即存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式-m≥$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$成立，所以-m≥（$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$）_min      …（10分）
因為$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$-1≥1，
當且僅當x+1=1，即x=0時取得等號
所以-m≥1，
解得：m≤-1．                           …（14分）

點評 本題考查的知識點是函數的定義域，二次不等式，集合的交集，函數存在性問題，函數的最值，基本不等式的應用，難度中檔．