Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若在點(diǎn)處的切線與軸平行，且函數(shù)在時(shí)，其圖象上每一點(diǎn)處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) y=0.

(2).

(3).

【解析】分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再寫出切線的方程.(2)先求導(dǎo)得，轉(zhuǎn)化為與的圖像的交點(diǎn)有兩個(gè)，再利用數(shù)形結(jié)合分析兩個(gè)函數(shù)的圖像得到的取值范圍.(3)先轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，即

，再構(gòu)造函數(shù)求其最小值，令其最小值大于零，得a的取值范圍.

詳解：（1）由題得所以切線方程為y=0.

（2) 當(dāng)時(shí)，，，

所以有兩個(gè)極值點(diǎn)就是方程有兩個(gè)解，

即與的圖像的交點(diǎn)有兩個(gè).

∵，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.有極大值又因?yàn)?/span>時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)與的圖像的交點(diǎn)有0個(gè)；

當(dāng)或時(shí)與的圖像的交點(diǎn)有1個(gè)；

當(dāng)時(shí)與的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)；

綜上.

（3）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行，

所以且，因?yàn)?/span>，

所以且；

在時(shí)，其圖像的每一點(diǎn)處的切線的傾斜角均為銳角，

即當(dāng)時(shí)，恒成立，即

，

令，∴

設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，∴，

∴在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，

∴，當(dāng)且時(shí)，，

所以在單調(diào)遞增；

∴成立

當(dāng)，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以，，

所以存在有；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有，不恒成立；

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.