Question

如圖所示，水平地面上有一個大球，現作如下方法測量球的大小：用一個銳角為60°的三角板，斜邊緊靠球面，一條直角邊緊靠地面，并使三角板與地面垂直，P為三角板與球的切點，如果測得PA=5，則球的表面積為

300π

．

Answer 1

分析：連接OA，由AP與AD為圓O的切線，根據切線性質得到∠OPA與∠ODA都為直角，由∠BAC=60°，根據平角定義得到∠PAD為120°，再根據切線長定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根據銳角三角函數定義得出OP=APtan60°，進而求出OP的長，即為半徑R，代入球的表面積公式即可求出．

解答：解：連接OA，∵AB與AD都為圓O的切線，
∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，
∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，
∵PA、AD都是⊙O的切線，
∴∠OAP=

1

2

∠PAD=60°，
在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=

OP

AP

，
則OP=APtan60°=5

3

cm，即⊙O的半徑R為5

3

cm．
則球的表面積S=4πR²=4π•（5

3

）²=300π．
故答案為：300π．

點評：本題考查了球的體積和表面積，圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．