Question

已知：函數，有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）數列{a_n}對n≥2，n∈N總有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求證為等差數列，并求出{a_n}的通項公式．
（3）是否存在這樣的數列{b_n}滿足：{b_n}為{a_n}的子數列（即{b_n}中的每一項都是{a_n}的項）且{b_n}為無窮等比數列，它的各項和為．若存在，找出一個符合條件的數列{b_n}，寫出它的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（2）的值建立關于a和b的等量關系，
解法一：根據f（x）=x 有唯一根，可得ax²+（b-1）x=0有唯一根，利用判別式進行求解，求出a和b的值；
解法二：根據f（x）=x 有唯一根，可得x（-1）=0，解得一根為0，從而-1=0的根也是x=0，可求出a和b的值；
（2）將取倒數，化簡可得{}為等差數列，從而求出{a_n}的通項公式．
（3）設{b_n} 的首項為，公比為q，然后求出這個無窮等比數列的各項和可得到m和q的等量關系，然后任意求出一組符合題意數列即可．
解答：解：（1） （1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以即ax²+（b-1）x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）²=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根為：x=0（1分）
經檢驗x=0是原方程的根（1分）
解法二：=x
x（-1）=0（1分）
x₁=0，因為方程有唯一的根（1分）
即：-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
經檢驗x=0是原方程的根（1分）
（2） （2分）
∴{ }為等差數列（1分）
∴ （2分）
所以 （1分）
（3）設{b_n} 的首項為，公比為q （ ）
所以這個無窮等比數列的各項和為：
，；
當m=3 時，，；
當， （6分）
點評：本題主要考查了等差數列的判定和數列的求和，同時考查了方程的根的有關問題，屬于中檔題．