Question

已知：函數，有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）數列{a_n}對n≥2，n∈N總有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求出數列{a_n}的通項公式．
（3）是否存在這樣的數列{b_n}滿足：{b_n}為{a_n}的子數列（即{b_n}中的每一項都是{a_n}的項）且{b_n}為無窮等比數列，它的各項和為．若存在，找出所有符合條件的數列{b_n}，寫出它的通項公式，并說明理由；若不存在，也需說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以，則可得△=（b-1）²=0，從而可求a，b
解法二：=x 即x（-1）=0，由方程有唯一的根可得-1=0的根也是x=0，從而可求a，b
（2）由，從而可得{ }為等差數列，可求
（3）結合（2）可設{b_n} 的首項為，公比為q （ ）由無窮等比數列的各項和為：，可得；當m=3 時，，；
當 若當m=1，m=2 時，顯然不符合條件．，m＞4，則由可得 與 矛盾從而可求．
解答：解：（1） （1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以，（1分）
∴△=（b-1）²=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根為：x=0（1分）
經檢驗x=0是原方程的根（1分）
解法二：=x
x（-1）=0（1分）
x₁=0，因為方程有唯一的根（1分）
即：-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
經檢驗x=0是原方程的根（1分）
（2） （2分）
∴{ }為等差數列 （1分）
∴ （2分）
所以 （1分）
（3）設{b_n} 的首項為，公比為q （ ）（1分）
所以這個無窮等比數列的各項和為：，（1分）
；當m=3 時，，；
當 （2分）
若當m=1，m=2 時，顯然不符合條件．
m＞4，則∴ 與 矛盾．
∴只有兩個符合條件的數列．（2分）
點評：本題主要考查了函數與數列的綜合知識的應用，解題的關鍵熟練掌握函數與數列的性質并能靈活應用．