Question

【題目】設數列的所有項都是不等于的正數，的前項和為，已知點在直線上（其中常數，且）數列，又.

（1）求證數列是等比數列；

（2）如果，求實數的值；

（3）若果存在使得點和都在直線在上，是否存在自然數，當（）時，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2），（3）存在自然數，其最小值為

【解析】

（1）由題意把點，、代入直線，整理后得到，由此說明數列是等比數列；

（2）把化為指數式，結合數列是等比數列可求值，再由在直線上，取求得值；

（3）由，知恒成立等價于恒成立．結合存在，，使得點和都在直線在上，推得是首項為正，公差為的等差數列．再由一定存在自然數，使求解自然數的最小值．

（1）證明：，、都在直線上，

，

即，又，且，

為非零常數，即數列是等比數列；

（2）解：由，得，即，得．

由在直線上，得，

令得，；

（3）解：由，知恒成立等價于恒成立．

存在，，使得點和都在直線在上，

，，即，

又，，可得，

又，，

即是首項為正，公差為的等差數列．

一定存在自然數，使，

即，解得，

，．

存在自然數，其最小值為，使得當時，恒成立．