Question

已知f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

，(m＜0)，直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且與f（x）圖象的切點為（1，f（x）），則m=（　�。�

A．-1

B．-3

C．-4

D．-2

Answer 1

分析：先求出f′（x），求出=f^′（1）即其切線l的斜率和切點，代入點斜式求出切線l方程，利用l與g（x）的圖象也相切，連立兩個方程，則此方程組只有一解，再轉化為一個方程一解，等價于判別式△=0，進而求出m的值．

解答：解：由題意得，f′(x)=

1

x

，g^′（x）=x+m，
∴與f（x）圖象的切點為（1，f（1））的切線l的斜率k=f^′（1）=1，
且f（1）=ln1=0，所以切點為（1，0），
∴直線l的方程為：y=x-1，
∵直線l與g（x）的圖象也相切，
∴

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

此方程組只有一解，
即

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0只有一解，
∴△=(m-1)2-4×

1

2

×

9

2

=0，解得m=-2或m=4（舍去）．
故選D．

點評：本小題主要考查直線的斜率與導數的幾何意義的關系、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力，易錯點直線l與兩個函數圖象相切時切點不同．