Question

△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且asinA+bsinB=csinC+

2

asinB
（I）求角C；
（II）求

3

sinA-cos(B+

π

4

)的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知先用正弦定理化簡可得a2+b2=c2+

2

ab，然后結合余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

可求cosC，進而可求C
（II）由（I）所求C及三角形的內角和可得

3

sinA-cos(B+

π

4

)=

3

sinA-cos(

3π

4

-A+

π

4

)，展開利用輔助角公式化簡后，結合正弦函數的性質可求最大值

解答：解：（I）∵asinA+bsinB=csinC+

2

asinB
∴a2+b2=c2+

2

ab
即a2+b2-c2=

2

ab
由余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

∵C∈（0，π）
∴C=

π

4

（II）由題意可得

3

sinA-cos(B+

π

4

)=

3

sinA-cos(

3π

4

-A+

π

4

)
=

3

sinA-cosA=2(

3

2

sinA+

1

2

cosA)
=2sin（A+

π

6

）
∵A∈（0，π）
∴A+

π

6

∈(

π

6

，

11π

12

)
∴-1≤2sin(A+

π

6

)≤2
∴

3

sinA-cos(B+

π

4

)的最大值為2

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理及輔助角公式、和差角公式在三角求解中的綜合應用