Question

（2013•唐山二模）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積S=

3

4

(c2-a2-b2)．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若a+b=2，且c=

3

，求A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理知c²-a²-b²=-2abcosC，再由△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

4

（c²-a²-b²），可得

1

2

absinC=

3

4

（-2abcosC），由此解得tanC的值，可得C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可得a+b=2sinA+2sinB=2，sinA+sin（

π

3

-A）=1，求得sin（

π

3

+A）=1，結合A的范圍求得A的值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理知c²-a²-b²=-2abcosC，又△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

4

（c²-a²-b²），
所以，

1

2

absinC=

3

4

（-2abcosC），得tanC=-

3

．
因為0＜C＜π，所以，C=

2π

3

．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
所以有a+b=2sinA+2sinB=2，sinA+sin（

π

3

-A）=1，
展開整理得，sin（

π

3

+A）=1，且

π

3

＜

π

3

+A＜

2π

3

，所以A=

π

6

．…（12分）

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．