Question

已知橢圓C₁的中心在原點，離心率為，焦點在x軸上且長軸長為10．過雙曲線C₂：右焦點F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線C₂于M、N兩點．
（I）求橢圓C₁的標準方程；
（II）若雙曲線C₂與橢圓C₁有公共的焦點，且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A，求雙曲線C₂的標準方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點，求雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設橢圓C₁的標準方程為，根據橢圓的幾何列出方程即可求出各個系數，從而得出橢圓C₁的標準方程；
（II）設雙曲線的右焦點F₂（c.0），將x=c代入雙曲線方程，得M、N兩點的縱坐標，得出|MN|=，又以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A，且|AF₂|=a+c，從而建立等式求出離心率，最后即得雙曲線C₂的標準方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點，則圓的半徑至少要取到a+c，即有a+c≤，兩邊同除以a²，即可求出雙曲線C₂的離心率的取值范圍．
解答：解：（I）設橢圓C₁的標準方程為，根據題意：
2a₁=10，則a₁=5．又e₁==，∴c₁=4，b₁=3
∴橢圓C₁的標準方程為
（II）設雙曲線的右焦點F₂（c.0），將x=c代入雙曲線方程，得y=，即為M、N兩點的縱坐標，即|MN|=
∵以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A，且|AF₂|=a+c，
∴a+c=，
即a²+ac=b²=c²-a²，
整理，得2a²+ac-c²=0，即有e²-e-2=0，又e＞1
∴e=2
又雙曲線C₂與橢圓C₁有公共的焦點，則c=4
∴a=2，b²=12
雙曲線C₂的標準方程為
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點，
∴圓的半徑至少要取到a+c，即有a+c≤，
兩邊同除以a²，得
e²-e-2≥0，又e＞1
∴e≥2
故雙曲線C₂的離心率的取值范圍為[2，+∞）．
點評：本題考查圓錐曲線的綜合問題，著重考查其標準方程和幾何性質，待定系數法求圓錐曲線的方程，屬于中檔題．