Question

已知橢圓C₁的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為

5

3

，且經過點M(

3

，

3

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）已知橢圓C₂的長軸和短軸都分別是橢圓C₁的長軸和短軸的m倍（m＞1），中心在原點，焦點在y軸上．過點C（-1，0）的直線l與橢圓C₂交于A、B兩個不同的點，若

AC

=2

CB

，求△OAB的面積取得最大值時的直線的方程．

Answer 1

分析：（I）設橢圓C₁的方程

y2

a2

+

x2

b2

=1，由e=

5

3

及橢圓過M（

3

，

3

2

）可得a，b之間的關系，從而可求a，b，進而可求橢圓的方程
（Ⅱ），設橢圓C₂的方程為

y2

9m2

+

x2

4m2

=1A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由m＞1知點C（-1，0）在橢圓內部，直線l與橢圓必有兩個不同的交點，當直線l垂直與x軸時，不合條件．
故設直線l為y=k（x+1）（A、B、O三點不共線，故k≠0），聯立直線與橢圓方程，根據方程的根與系數關系可求y₁+y₂，由

AC

=2

CB

，可得y₁=-2y₂…（從而可求y₂，而△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|，代入利用基本不等式可求面積的最大值及k

解答：解：（I）設橢圓C₁的方程

y2

a2

+

x2

b2

=1
∵e=

5

3

∴4a²=9b²
∵橢圓過M（

3

，

3

2

）
∴

9

4a2

+

3

b2

=1
∴b²=4，a²=9
∴橢圓的方程

y2

9

+

x2

4

=1（6分）
（Ⅱ），設橢圓C₂的方程為

y2

9m2

+

x2

4m2

=1A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．…（7分）
∵m＞1
∴點C（-1，0）在橢圓內部，直線l與橢圓必有兩個不同的交點
當直線l垂直與x軸時，

AC

=

CB

（不是零向量），不合條件．
故設直線l為y=k（x+1）（A、B、O三點不共線，故k≠0）…（8分）
由

y=k(x+1) 4y2+9x2=36m2

得(

9

k2

+4)y2-

18

k

y+9-36m2=0∴y1+y2=

18k

9+4k2

…（9分）
∵

AC

=2

CB

，而點C（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂）
∴y₁=-2y₂…（10分）
∴y2=

-18k

9+4k2

．
于是，△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|=

27|k|

9+4k2

=

27

9 |k| +4|k|

≤

27

2 36

=

9

4

．
其中，上式取等號的條件是k2=

9

4

，即k=±

3

2

時，△OAB的面積取得最大值．
所以直線的方程為y=

3

2

(x+1)或y=-

3

2

(x+1)…（14分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓方程及直線與橢圓相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用及利用基本不等式求解函數的最值等知識的綜合應用．