Question

（2010•濟寧一模）已知橢圓C₁的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為e=

3

2

，P為橢圓上一動點，F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，且△PF₁F₂面積的最大值為

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓短軸的上端點為A、M為動點，且

1

5

|

F2A

|2，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差數列，求動點M的軌跡C₂的方程；
（3）過點M作C₂的切線l交于C₁與Q、R兩點，求證：

OQ

•

OR

=0．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C₁的方程，利用離心率為e=

3

2

，可得a=2b．由橢圓幾何性質知，當P為橢圓的短袖端點時，△PF₁F₂的面積最大，根據△PF₁F₂面積的最大值為

3

，建立方程，即可求得橢圓C₁的方程；
（2）用坐標表示向量，利用

1

5

|

F2A

|2，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差數列，建立方程，整理可得M的軌跡C₂的方程；
（3）l的斜率存在時，設l方程代入橢圓方程，利用韋達定理，借助于坐標表示

OQ

•

OR

，結合l與C₂相切，可得

OQ

•

OR

=0；當l的斜率不存在時，l：x=±

2 5

5

，代入橢圓方程，求出Q，R的坐標，即可證得結論．

解答：（1）解：設橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，c=

a2-b2

，∴

c

a

=

3

2

，所以a=2b．
由橢圓幾何性質知，當P為橢圓的短袖端點時，△PF₁F₂的面積最大，故

1

2

|F1F2|b=bc=

3

，∴a=2，b=1，
故所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）解：由（1）知A（0，1），F₁=（-

3

，0），設M（x，y）則

F2A

=(-

3

，1)，

F2M

=(x-

3

，y)，

AM

=(x，y-1)，

AF1

=(-

3

，-1)
由題意得

F2M

•

AM

=

1

5

|

F2A

|2+

AF1

•

OM

，∴x(x-

3

)+y(y-1)=

4

5

-

3

x-y
整理得M的軌跡C₂的方程為x2+y2=

4

5

；
（3）證明：l的斜率存在時，設l方程為y=kx+m，代入橢圓方程并整理得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0．
△=（8km）²-16（m²-1）（1+4k²）＞0，
設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），∴x1+x2=-

8mk

1+4k2

，x1

x

2

=

4m2-4

1+4k2

所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x 2)+m2，
則

OQ

•

OR

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=

(1+k2)(4m2-4)

1+4k2

-

8m2k2

1+4k2

+m2=

5m2-4k2-4

1+4k2

又因為l與C₂相切，所以

|m|

1+k2

=

2 5

5

，∴5m²-4k²-4=0
所以

OQ

•

OR

=0，
當l的斜率不存在時，l：x=±

2 5

5

，代入橢圓方程解得Q(

2 5

5

，

2 5

5

)，R(

2 5

5

，-

2 5

5

)或Q(-

2 5

5

，

2 5

5

)，R(-

2 5

5

，-

2 5

5

)，此時

OQ

•

OR

=

4

5

-

4

5

=0
綜上所述，

OQ

•

OR

=0

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，正確運用韋達定理是關鍵．