Question

如圖，在邊長為2的圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點，延長AP交圓于點E．
（1）∠E=

45

度；
（2）寫出圖中現有的一對不全等的相似三角形，并說明理由；
（3）求弦DE的長．

Answer 1

分析：（1）由圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，知∠E=∠ACD=45°．
（2）由∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，知△ACP∽△DEP．
（3）由△ACP∽△DEP，知

AP

DP

=

AC

DE

，由邊長為2的圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點，AP=

4+1

=

5

，AC=

4+4

=2

2

，由此能求出DE．

解答：解：（1）∵圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，
∴∠ACD=45°，
∴∠E=∠ACD=45°，
故答案為：45°．
（2）△ACP∽△DEP，
理由：∵∠AED=∠ACD，
∠APC=∠DPE，
∴△ACP∽△DEP．
（3）∵△ACP∽△DEP，
∴

AP

DP

=

AC

DE

，
∵邊長為2的圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點，
∴AP=

4+1

=

5

，
AC=

4+4

=2

2

，
∴DE=

AC•DP

AP

=

2 2 ×1

5

=

2 10

5

．

點評：本題考查與圓有關的比例線段的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．