Question

已知cosα=

1

7

，cos（α+β）=-

11

14

，且α∈(0，

π

2

)，α+β∈(

π

2

，π)，求tan

α

2

及β的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值

分析：求出tanα=4

3

，tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

，求出2

3

t2+t-2

3

=0，方程的解即可．求出tan（α+β）=-

5 3

11

，變換角tanβ=tan（（α+β）-α）=

- 5 3 11 -4 3

1+(- 5 3 11 )(4 3 )

=

-49 3

11-60

=

3

，即可求出β的值．

解答： 解：（1）∵cosα=

1

7

，且α∈(0，

π

2

)
∴sinα=

4 3

7

，
∴tanα=4

3

，
∵tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

，
令t=tan

α

2

，
則2

3

t2+t-2

3

=0，
t=

-1±7

4 3

，
∵α∈(0，

π

2

)，
∴t=

3

2

．
tan

α

2

=

3

2

；
（2）∵cos（α+β）=-

11

14

，α+β∈(

π

2

，π)，
∴sin（α+β）=

5 3

14

，
∴tan（α+β）=-

5 3

11

，
∵tanβ=tan（（α+β）-α）=

- 5 3 11 -4 3

1+(- 5 3 11 )(4 3 )

=

-49 3

11-60

=

3

，
∵α∈(0，

π

2

)，α+β∈(

π

2

，π)，
∴tanβ=

3

，
即β=

π

3

．

點評：本題考查了三角函數的性質，計算公式，角的變換，屬于中檔題．