Question

（08年長郡中學二模文）（13分）已知函數f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1處取得極值.

（Ⅰ）求函數f(x)的解析式；

　 （Ⅱ）求證：對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；

     （Ⅲ）若過點A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍.

Answer 1

解析：（I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0，

        即 解得a=1，b=0.∴f(x)=x³－3x.                     （4分）

（II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

當－1時，f′(x)<0，故f(x)在區間[－1，1]上為減函數，          （6分）

f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2

∵對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，

都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x)－f_min(x)|=2－(－2)=4                        （8分）

  （III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，∵曲線方程為y=x³－3x，

∴點A（1，m）不在曲線上.

設切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足

因，故切線的斜率為，

整理得.∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，

∴關于x₀方程=0有三個實根                    （10分）

設g(x­₀)= ，則g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減.

∴函數g(x₀)= 的極值點為x₀=0，x₀=1            （11分）

∴關于x₀方程=0有三個實根的充要條件是

，解得－3－2.

故所求的實數a的取值范圍是－3－2.                           （13分）