Question

已知函數f （x）=|x+

1

x

-1|，則關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0（b，c∈R）有6個不同實數解的充要條件是

b+c＞-1，且3b+c＜-9

．

Answer 1

分析：可以畫出函數f （x）=|x+

1

x

-1|，的圖象，可知方程f²（x）+bf（x）+c=0（b，c∈R），f（x）可以看成未知數x，f（x）是方程的根，f（x）與上述圖象有6個根，利用圖象可以判斷f（x）的范圍，從而求解；

解答：解：關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0（b，c∈R）有6個不同實數解，
畫出函數f （x）=|x+

1

x

-1|，的圖象，
如下圖：

要是方程有6個解，說明方程有兩個根，且如上圖：1＜f（x）＜3和f（x）＞3，此時有六個交點，
根據根與系數的關系：

f(1)＞0 f(3)＜0

，解得b+c＞-1，且3b+c＜-9，
故答案為：b+c＞-1，且3b+c＜-9；

點評：數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．