Question

【題目】已知函數，.

（1）討論在區間上的單調性；

（2）若時，，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）分別在、和三種情況下，根據導函數的正負得到原函數的單調區間；

（2）將問題轉化為在上恒成立，則，結合零點存在定理可確定的最大值為，，利用導數可求得其值域，進而得到整數的最小值.

（1）由題意得：，

令，則，

當，即時，，，在上單調遞增；

當，即或時，

令，解得：，，

當時，，

當時，；當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，，

當時，；當和時，，

在，上單調遞增，在上單調遞減；

綜上所述：當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由得：在上恒成立，

令，則，

令，則，，

，在區間上存在零點，

設零點為，則，

當時，；當時，，

在上單調遞增，在上單調遞減，

，，

設，則，

上單調遞增，，即，

整數的最小值為.