Question

已知函數f（x）=

(1-3a)x+10a(x≤6) ax-7              (x＞6)

，若數列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N^*），且{a_n}是遞減數列，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  3

  ，1）
• B、（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• C、[

  1

  4

  ，

  1

  3

  ）．
• D、（

  5

  8

  ，1）

Answer 1

分析：根據{a_n}是遞減數列，判斷函數的單調性，然后利用分段函數的單調性滿足的條件即可求出a的取值范圍．

解答：解：∵數列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N^*），且{a_n}是遞減數列，
∴函數f（x）是遞減函數，
即滿足條件

1-3a＜0 0＜a＜1 f(6)≥a6-7

，
即

a＜ 1 3 0＜a＜1 6-18a+10a≥ 1 a

，
∴

0＜a＜ 1 3 8a2-6a+1≤0

，
即

0＜a＜ 1 3 (2a-1)(4a-1)≤0

，
∴

0＜a＜ 1 3 1 4 ≤a≤ 1 2

，
∴

1

4

≤a＜

1

3

，
故數a的取值范圍是[

1

4

，

1

3

）．
故選：C

點評：本題主要考查分段函數單調性的判斷和求解，根據數列的單調性判斷函數的單調性是解決本題的關鍵．