Question

現有3個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．約定：每個人將質地均勻的硬幣拋擲2次決定自己去參加哪個游戲．2次拋出的硬幣朝上的面均為正面的人去參加甲游戲，2次拋出的硬幣朝上的面為其它情形的去參加乙游戲．
（1）求這3個人中恰有2個人去參加甲游戲的概率；
（2）求這3個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；
（3）用X，Y分別表示這3個人中去參加甲、乙游戲的人數，記ξ=|X-Y|，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）先確定3個人中，每個人去參加甲游戲、乙游戲的概率，進而可求3個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；
（2）利用互斥事件的概率公式，即可求得結論；
（3）確定ξ的所有可能取值，求出相應的概率，即可求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

解答：解：將質地均勻的兩枚硬幣拋擲兩次朝上的面有等可能的四種結果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），…（1分）
所以3個人中，每個人去參加甲游戲的概率為

1

4

，去參加乙游戲的概率為

3

4

．…（2分）
設“這3個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3），則P(Ai)=

C

i 3

(

1

4

)i(

3

4

)3-i．…（3分）
（1）這3個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)3-2=

9

64

．…（5分）
（2）設“這3個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數”為事件B，則B=A₃∪A₂，
由于A₃與A₂互斥，故P（B）=P（A₃）+P（A₂）=

C

3 3

(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)=

1

64

+

9

64

=

5

32

．
所以，這3個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率為

5

32

．…（7分）
（3）ξ的所有可能取值為1，3，…（8分）
由于A₁與A₂，A₀與A₃互斥，故P（ξ=1）=P（A₁）+P（A₂）=

C

1 3

(

1

4

)(

3

4

)2+

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)=

27

64

+

9

64

=

9

16

，…（9分）P（ξ=3）=P（A₀）+P（A₃）=

C

0 3

(

3

4

)3+

C

3 3

(

1

4

)3=

27

64

+

1

64

=

7

16

．…（10分）
所以，ξ的分布列為

ξ	1	3
P	9 16	7 16

…（11分）
所以隨機變量ξ的數學期望Eξ=1×

9

16

+3×

7

16

=

30

16

=

15

8

．…（12分）

點評：本小題主要考查互斥事件，古典概型，獨立重復試驗，數學期望等知識，考查隨機思想以及數據處理能力、抽象思維能力、運算求解能力和應用意識．