Question

（2013•廣東模擬）設函數f(x)=3sin(ωx+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)的圖象關于直線x=

2

3

π對稱，它的周期是π，則（　　）

• A．f（x）的圖象過點（0，

  1

  2

  ）
• B．f（x）在[

  π

  12

  ，

  2π

  3

  ]上是減函數
• C．f（x）的一個對稱中心是（

  5π

  12

  ，0）
• D．將f（x）的圖象向右平移|φ|個單位得到函數y=3sinωx的圖象

Answer 1

分析：由題意通過周期與對稱軸，分別求出ω，與φ，推出函數的解析式，然后逐個驗證選項，判斷正誤即可．

解答：解：因為函數的周期為π，所以ω=2，又函數圖象關于直線x=

2

3

π對稱，
所以由f(x)=3sin(2x+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，
可知2×

2

3

π+φ=kπ+

π

2

，φ=kπ-

5π

6

，-

π

2

＜φ＜

π

2

，
所以k=1時φ=

π

6

．
函數的解析式為：f(x)=3sin(2x+

π

6

)．當x=0時f（0）=

3

2

，所以A不正確．
當

π

12

＜x＜

2π

3

，2x+

π

6

∈[

π

3

，

3π

2

]，函數不是單調減函數，B不正確；
當x=

5π

12

時f（x）=0．函數的一個對稱中心是（

5π

12

，0）正確；
f（x）的圖象向右平移|φ|個單位得到函數y=3sin（ωx+φ-ωφ）的圖象，不是函數y=3sinωx的圖象，D不正確；
故選C．

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，函數的基本性質的應用，考查計算能力．