Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點為F(2,0)，過點F的直線交橢圓于M、N兩點且MN的中點坐標為 ．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設直線l不經過點P（0，b）且與C相交于A，B兩點，若直線PA與直線PB的斜率的和為1，試判斷直線 l是否經過定點，若經過定點，請求出該定點；若不經過定點，請給出理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） .

【解析】

（Ⅰ）設，由點差法可得，MN的中點坐標為，則可得，由此能求出橢圓C的方程．

（II）設直線AB：，聯立方程得：由此利用韋達定理、直線斜率公式，結合已知條件能求出直線l經過定點．

（I）設，則，兩式相減得

,，

又MN的中點坐標為 ，且M、N、F、Q共線

因為，所以，

因為所以，

所以橢圓C的方程為.

（II）設直線AB：，聯立方程得：

設則 ，

因為，所以，所以

所以，所以，所以

所以，因為，所以，

所以直線AB：，直線AB過定點 ，

又當直線AB斜率不存在時，設AB：，則，因為

所以適合上式，所以直線AB過定點.