Question

已知函數f(x)=1-2sin2(x+

π

8

)+2sin(x+

π

8

)cos(x+

π

8

)．求：
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式，把函數化為一個角的一個三角函數的形式，然后求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）以及余弦函數的單調性，求函數f（x）的單調增區間．

解答：解：f(x)=cos(2x+

π

4

)+sin(2x+

π

4

)=

2

sin(2x+

π

4

+

π

4

)=

2

sin(2x+

π

2

)=

2

cos2x．
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）當2kπ-π≤2x≤2kπ，即kπ-

π

2

≤x≤kπ（k∈Z）時，
函數f(x)=

2

cos2x是增函數，
故函數f（x）的單調遞增區間是[kπ-

π

2

，kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，二倍角的余弦，余弦函數的單調性，考查學生分析問題解決問題的能力，是基礎題．