Question

已知P、Q是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，M是該橢圓上任意一點(diǎn)，且直線MP、MQ的斜率分別為k₁、k₂，若|k1k2|=

1

3

，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、

  6

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：先設(shè)出P，M，N的坐標(biāo)，把它們代入橢圓方程，方程相減可分別表示出PM和PN的斜率，二者相乘等于

1

3

同時(shí)把x₁=-x₂，y₁=-y₂代入解求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．

解答：解：設(shè)p（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把它們代入橢圓方程得

x 02

a2

+

y 02

b2

=1①，

x 12

a2

+

y 12

b2

=1②.

x 22

a2

+

y 22

b2

=1
②-①得PM的斜率k₁=

y0-y1

x0-x1

=

b2(x0+x1)

a2(y0+y1)

，
同理PN的斜率k₂=

y0-y2

x0-x2

=

b2(x0+x2)

a2(y0+y2)

，k₁•k₂=

b4(x0+x2)(x0+x1)

a4(y0+y2)(y0+y1)

=

1

3

，
M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，x₁=-x₂，y₁=-y₂．
∴

b2

a2

=

1

3

，即a²=3b²，
∴c²=a²-b²=

2

3

a²，
∴e=

c

a

=

6

3

．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，涉及弦長中點(diǎn)時(shí)，或直線的斜率時(shí)都可采用點(diǎn)差法，設(shè)出點(diǎn)代入橢圓方程，然后相減，與直線的斜率和弦的中點(diǎn)相聯(lián)系．