Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（4-x）=-f（x），當x＞2時，f（x）單調遞增，如果x₁+x₂＜4，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

Answer 1

分析：不妨設x₁＜x₂，根據（x₁-2）（x₂-2）＜0，可得x₁＜2，x₂＞2，再根據x₁+x₂＜4，可得x₂＞4-x₁＞2，利用函數的單調性，可以得到f（4-x₁）與f（x₂）的大小關系，再利用f（4-x）=-f（x），賦值x=x₁，f（4-x₁）轉化為f（x₁），從而得到結論．

解答：解：∵（x₁-2）（x₂-2）＜0，
∴不妨設x₁＜x₂，
∴x₁＜2，x₂＞2，
∵x₁+x₂＜4，
∴4-x₁＞x₂＞2，
∵當x＞2時，f（x）單調遞增，
∴f（4-x₁）＞f（x₂），
又∵f（4-x）=-f（x），
令x=x₁，可得-f（x₁）=f（4-x₁），
∴-f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）＞0．
即f（x₁）+f（x₂）的值恒小于0．
故選A．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，考查根據抽象函數的性質進行靈活變形，轉化證明的能力，本題對靈活轉化的能力要求較高，依據條件靈活轉化是一種數學素養較高的表現．屬于中檔題．