Question

14．已知函數f（x）=x²+2ax+3，x∈[-2，2]
（1）當a=-1時，求函數f（x）的最大值和最小值；
（2）記f（x）在區間[-2，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質即可求出最值．
（2）借助于函數的圖象研究單調性，確定最小值，主要是從開口方向、對稱軸與區間的關系來確定函數的最小值．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2
∵對稱軸x=1∈[-2，2]，
∴f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（-2）=11，
（2）f（x）=x²+2ax+3=（x+a）²+3-a²，
∴該函數在區間（-∞，-a]上遞減，在[-a，+∞）上遞增，
①當-a＜2，即a＞2時，f（x）在[-2，2]上單調遞增，故g（a）=f（-2）=7-4a；
②當-2≤a≤2時，f（x）在[-2，-a]上遞減，在[-a，2]上遞增，∴g（a）=f（2）=3-a²；
③當-a＞2，即a＜-2時，f（x）在[-2，2]上遞減，∴g（a）=f（2）=7+4a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7+4a，a＜-2}\\{3-{a}^{2}，-2≤a≤2}\\{7-4a，a＞2}\end{array}\right.$

點評 本題考查了二次函數在指定區間上的最值問題，利用對稱軸與區間的關系討論單調性，再求最值．