Question

【題目】若函數f（x）同時滿足①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②對于定義域上的任意x1、x2 ， 當x1≠x2時，恒有 ＜0，則稱函數f（x）為“理想函數”．給出下列三個函數中：（1）f（x）= ；（2）f（x）=x+1；（3）f（x）= ，能被稱為“理想函數”的有（填相應的序號）．

Answer 1

【答案】（3）
【解析】解：∵函數f（x）同時滿足①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；
②對于定義域上的任意x1 ， x2 ， 當x1≠x2時，恒有 ＜0，則稱函數f（x）為“理想函數”，
∴“理想函數”既是奇函數，又是減函數，
在（1）中，f（x）= 是奇函數，但不是減函數，故（1）不是“理想函數”；
在（2）中，f（x）=x+1在（﹣∞，+∞）內是增函數，故（2）不是“理想函數”；
在（3）中，f（x）= ，是奇函數，且是減函數，故（3）能被稱為“理想函數”．
故答案為：（3）．
由已知得“理想函數”既是奇函數，又是減函數，由此判斷所給三個函數的奇偶性和單調性，能求出結果．