Question

【題目】已知橢圓： （）的左焦點與拋物線的焦點重合，直線與以原點為圓心，以橢圓的離心率為半徑的圓相切．

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）設點坐標為，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線的方程為或.

【解析】試題分析：（I）由拋物線的方程，求得焦點坐標，即可求得c，利用點到直線的距離公式，求得橢圓的離心率，求得a和b的值，求得橢圓方程；
（II）分類討論，當直線斜率存在時，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，即可求得k的值，求得直線AB的方程．

試題解析：

（Ⅰ）依題意，得， ，即，∴， ，

∴所求橢圓的方程為．　

（Ⅱ）若直線斜率不存在，即： ，滿足.

若直線的斜率存在，設其方程為，

將其代入，整理得， ，

設， ，

則， ，

∴中點，根據題意，

∴，解得，

綜上，直線的方程為或．