Question

已知函數f（x）=，則下列關于函數y=f（f（x））+1的零點個數的判斷正確的是（ ）
A．當a＞0時，有4個零點；當a＜0時，有1個零點
B．當a＞0時，有3個零點；當a＜0時，有2個零點
C．無論a為何值，均有2個零點
D．無論a為何值，均有4個零點

Answer 1

【答案】分析：因為函數f（x）為分段函數，函數y=f（f（x））+1為復合函數，故需要分類討論，確定函數y=f（f（x））+1的解析式，從而可得函數y=f（f（x））+1的零點個數
解答：解：分四種情況討論．
（1）x＞1時，log₂x＞0，∴y=f（f（x））+1=log₂（log₂x）+1，此時的零點為
（2）0＜x＜1時，log₂x＜0，∴y=f（f（x））+1=alog₂x+1，則a＞0時，有一個零點，a＜0時，沒有零點，
（3）若x＜0，ax+1≤0時，y=f（f（x））+1=a²x+a+1，則a＞0時，有一個零點，a＜0時，沒有零點，
（4）若x＜0，ax+1＞0時，y=f（f（x））+1=log₂（ax+1）+1，則a＞0時，有一個零點，a＜0時，沒有零點，
綜上可知，當a＞0時，有4個零點；當a＜0時，有1個零點
故選A
點評：本題考查分段函數，考查復合函數的零點，解題的關鍵是分類討論確定函數y=f（f（x））+1的解析式．